有理対称式の基本定理をガロア理論で示す

$K$ を体、 $x_{1}, \dots, x_{n}$ を（相異なる）変数、 $s_k (k=1,\cdots,n)$ を $x_{1}, \cdots, x_{n}$ の $k$ 次基本対称式とする。

本稿で示したい定理は以下である。

[定理]
有理対称式は基本対称式の有理式で表せる

通常の対称式の基本定理と呼ばれるものは対称「多項式」に関するもので、表現の一意性までを含めて主張している。今回扱うのは有理対称式である（ヒルベルトの零点定理を使えばこの定理から通常の対称式の基本定理を導けることが出来る（アルティン『ガロア理論入門』2章7節例2））。定義は自然なものであるが、ちゃんとした説明は最初の節を見られたい。

これは以下の補題を認めればガロアの基本定理より $F=L^ {{\rm Gal}(L/F)}=L^{S_n}=$ （有理対称式全体）であるから主張が従う。

[補題]
${\rm Gal}(K (x_{1}, \dots, x_{n} )/K (s_{1}, \dots, s_{n} ))\cong S_n$

よってこの補題を示せばよい。以下 $K$ 上の $n$ 変数有理関数体を $L=K (x_{1}, \dots, x_{n} )$ 、 $F=K (s_{1}, \cdots, s_{n} )$ とする。補題の主張は ${\rm Gal}(L/F)\cong S_n$ である。

有理対称式の定義

$\sigma \in S_n$ に対して $L$ の $K$ 自己同型 $\sigma^{*}$ を

$\sigma^{*} (f (x_{1}, \ldots, x_{n} ) )=f (x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(n)} )$

と定めることにより $\sigma$ は以下のような単射準同型を引き起こす。

$S_{n} \ni \sigma \mapsto \sigma^{*} \in \operatorname{Aut}(L / K)$

これにより $\sigma$ と $\sigma^{*}$ を同一視することで $S_n < {\rm Aut}(L/K)$ とみなせる（＜は部分群の意味）。こうしたときに有理対称式 $f\in L$ とは任意の $\sigma\in S_n$ に対して $\sigma (f)=f$ を満たすものとして定義できる。