S_5の可解な可移部分群の決定

本稿はhttp://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdfの前半の内容で述べられている $S_5$ の可解な可移部分群の決定の行間を埋めたものである。以下「 $H$ $<$ $G$ 」で $H$ が $G$ の部分群であること、「 $H\sim K$ 」で部分群 $H,K$ が共役であることを表す。

唐突だが $S_5$ の三つの部分群を定義する。

$F_{20}=\langle\sigma , \tau\rangle, F_{10}=\langle\sigma , \tau ^2\rangle,F _5=\langle\sigma\rangle$

$(\sigma =(1 2 3 4 5),\tau =(2 3 5 4))$

例えば $F_5$ を具体的に書き出してみると $F_5=\{e,(12345),(13524),(14253),(15432)\}$ となる。

実はここで次が成り立つ

[主定理]
$S_5$ の可解な可移部分群は $F_{20},F_{10},F_5$ のいずれかに共役。従って可移部分群 $H < S_5$ に対して
$H$ は可解 $\iff H$ は $F_{20}$ のある共役に含まれる

これは我々の欲するものである。本稿の目標はこれを証明することである。*1

本稿では群の作用や軌道・固定群定理について読者は知っているものとする。

これら三つの群について

$F_5\cong C_5,F_{10}\cong D_{10}$ は簡単にわかるが $F_{20}$ は簡単な群で表せるようには見えない。しかしこれはperiod-mathematics.hatenablog.comでも少し触れたが、実は1次のアフィン一般線形群AGL $_1(\mathbb{F}_5)$ と呼ばれるものに等しく、これはある正規部分群 $N\cong C_4$ と部分群 $H\cong C_5$ との半直積 $N\rtimes H$ に等しい（ちなみにNは平行移動のなす群、Hはスカラー倍のなす群である。詳細は例えば[cox][p.165]を見よ）。

ちなみにこれは5次のフロベニウス群とも同型である。*2

これらの可解性は以下のようにシローの定理で示すことができる

(*)　 $F_5$ は $S_5$ および $F_{20}$ の5シロー部分群であるから、 $F_{20}$ における $F_5$ の共役の個数は $(F_{20}:N_{F_{20}}(F_5) )$ に等しい。また $F_{20}>N_{F_{20}}(F_5)\rhd F_5$ に注意すればこれは $(F_{20}:F_5)=4$ の約数であり、シローの定理より ${\rm mod}\ 5$ で1に等しいからこれは1である。従って $F_{20}\rhd F_5\rhd 1$ より $F_{20}$ の可解性がわかり、その部分群も可解であることから主張が従う。

位数30,40の部分群が存在しないこと

まず有限群の解析における重要な道具である置換表現を復習しよう。

[定義]
$G$ を群、 $H$ をその部分群とする。

このとき $G$ は $G/H$ 上に $\varphi _a:gH\mapsto agH (a\in G)$ によって作用する。これにより群準同型 $\varphi :G\to S_{G/H};a\mapsto \varphi _a$ が定まる。

これを部分群 $H$ の定める $G$ の置換表現という。

ここで次は基本的な性質である。

[命題]
${\rm Ker}(\varphi )$ $<$ $H.$

証明
$a\in {\rm Ker}\varphi$ とすると $aH=H\iff a\in H$ より ${\rm Ker}(\varphi )$ $<$ $H$ 。
証明終了

これを用いて $S_5$ を解析してみよう。

[定理]
$S_5$ は位数30,40の部分群を持たない

証明
$G:=S_5$ の部分群 $H$ の位数が30だと仮定する。このとき $H$ の指数は4であるから $H$ の定める置換表現 $\varphi :G \to S_4$ が存在して ${\rm Ker}(\varphi )$ $<$ $H.$

ここで $G\rhd {\rm Ker}(\varphi )$ であるから $1,A_5,S_5$ のいずれかである。しかし $|H|=30$ ゆえ ${\rm Ker}(\varphi )=1$ でなければならず、 $G=S_5$ から $S_4$ へ単射が入ることになり矛盾。もう一方も同様。
証明終了

本題の証明

基本的な補題を確認しておく（証明は容易である）

[補題]
$H,K$ $<$ $G$ 、 $X$ を $G$ の任意の部分集合とするとき以下が成り立つ。

$K\rhd H\iff N_G(H)>K$ （等号成立条件は $G=K$ ）

$G>H\Rightarrow N_G(X)\rhd N_H(X)$

$H\sim K$ $\Rightarrow$ $N_G(H)\sim N_G(K)$

また $S_n$ の元の位数の最大値は $n$ であることにも注意する（サイクル分解を考えればわかる）。

主定理の証明
$G$ を $S_5$ の可解な可移部分群とすると、 $5| |G|$ ( $\because$ 軌道・固定群定理)かつ $|G| |120=|S_5|$ と上で示した定理を考慮すれば $|G|$ の候補は5,10,15,20である。
$|G|=5$ のとき $,G$ は $S_5$ の5シロー部分群より $G\sim F_5$ 。
$|G|=15$ のとき,これは巡回群であるが*3、 $S_5$ が位数 $15$ の元を含むことになりこれは矛盾。
$|G|=20$ のとき, $G$ の5シロー部分群 $P$ は、シローの定理から $G\rhd P$ であるから補題より $G=N_G(P)$ である。この場合もいったん保留する。

さて、保留された共役性を示そう。(*)と同様の議論をする。まずそこで導かれた $F_{20}\rhd F_5$ と補題を合わせれば $N_{S_5}(F_5)\rhd N_{F_{20}}(F_5)=F_{20}$ を得る.
同様に $S_5$ における $F_5$ の共役の個数は $(S_5:N_{S_5}(F_5))$ に等しい。また $S_5>N_{S_5}(F_5)\rhd F_{20}$ に注意すればこれは $(S_5:F_{20})=6$ の約数であり、シローの定理より ${\rm mod}\ 5$ で1に等しいから1または6であるが1であるとすると $N_{S_5}(F_5)=S_5$ となるがこれは容易に矛盾だとわかる*4。よって $N_{S_5}(F_5)=F_{20}$ 。故に $G\cong F_{20}$ であればある5シロー部分群 $P$ が存在して $G=N_{S_5}(P)$ と書ける*5。ここで $P\sim F_5$ と補題より $G=N_{S_5}(P)\sim N_{S_5}(F_5)=F_{20}$ である*6から $|G|=20$ のときは解決。
また $G\cong F_{10}$ であるとする。 $G$ はある5シロー部分群 $Q$ を含むが、 $G$ を適切にその共役 $G'$ に移すことでその5シロー部分群が $F_5$ となるようにできる。このとき $(G':F_5)=2$ より $F_5$ は $G'$ の正規部分群である。従って $\zeta$ を $G'$ の位数2の元とすると $\zeta^{-1}\sigma\zeta\in F_5=\langle\sigma \rangle$ となり, $G'\cong D_{10}$ であることから $\zeta^{-1}\sigma\zeta=\sigma^{-1}=(15432)$ とならねばならない。これを満たす $\zeta$ は $\zeta=(25)(34),(15)(24),(14)(23),(13)(45),(12)(35)$ であり、どれを選んだとしても $\langle\zeta,\sigma\rangle=F_{10}$ となることが計算によってわかる。従って $G\sim G'=F_{10}$ となり $|G|=10$ のときも解決。*7

逆に $F_{20},F_{10},F_5$ のいずれかに共役であるとする。 $F_{20},F_{10},F_5$ は長さ5のサイクルを含むのでこれらは可移で、また(*)より可解でもある。以上より主張が従う。
証明終了

[1]http://www.isc.meiji.ac.jp/~kurano/soturon/ronbun/04kurano.pdf
[cox]ガロワ理論（上）・(下) デイヴィッド・A. コックス (著), 梶原　健 (翻訳)

*1:より一般的な命題として「 $p$ を素数とするとき $S_p$ の可解な可移部分群は $(1\,2\,\cdots ,p)$ を含むAGL $_1(\mathbb{F}_p)$ の部分群に共役」というものがある([cox]命題14.1.4])。これはガロアの方程式論における有名な結果「 $p$ を素数、 $f$ を $p$ 次既約多項式とするとき、 $f$ が可解 $\iff f$ の任意の異なる二解による係数体の拡大体が全て $f$ の最小分解体 $\iff f$ のガロア群はAGL $_1(\mathbb{F}_p)$ の部分群と同型」の証明の中心となるものである。この定理はガロア群が本質に関わってくることからガロア自身、とても気に入っていたようである

*2:文献によってはメタ巡回群とも呼ばれている。一般にフロベニウス群はメタ巡回群である。このようにいろいろと性質を持ってかつ位数も比較的小さいのでそういう意味で重要な例なのではないかと思う。

*3:証明は例えば[1]の例7.2

*4:例えば $(12)^{-1}(12345)(12)=(13452)\notin F_5$

*5: $F_{20}\cong G$ の同型を $f$ とすると、 $G=f(F_{20})=f(N_{S_5}(F_5) )=N_{S_5}(f(F_5) )$ より $P=f(F_5)$ と置けばよい

*6:一般に素数 $p$ に対して $N_{S_p}(<(1\, 2\,\cdots p)>)=AGL(1,\mathbb{F}_p)$ である。証明は[cox][p.557,補題14.1.2]。

*7:PDFの方には「 $N_{S_5}(F_5)=F_{20}>F_{10}$ より,ある $G$ の5シロー部分群 $Q$ が存在して $G$ $<$ $N_{S_5}(Q)$ であるので $G\sim F_{10}$ 」というようなことが書いてあるのだが正直よく意味が解らない。もしこれの意味が分かる方がいましたら是非教えて下さい