「与えられた多項式のガロア群を求めたい」という古典的欲求に応えるものとして今日では計算機が役に立つが今回はPARI/GPというものを採用したいと思う。これについてはperiod-mathematics.hatenablog.comでも「アルゴリズムの計算の実例」という節の始めで紹介している。そこにも書いてある通りこれを選んだのは単純に使いやすく、わかりやすく、またなんといってもスマホ（ただしAndroid限定）に対応しているからである（Androidでは「PariDroid」というアプリ名でGoogle Playストアを探せば出てくる、現在では）。ダウンロードリンクなどもそこに貼ってある。
例1（使い方を知る）
さていきなりであるが今回の問いに答えるコマンドは「polgalois」というものである。これを使うと7次以下の既約多項式のガロア群を計算することが出来る。さっそく試してみよう。
例はperiod-mathematics.hatenablog.comにあるを使ってみよう。この記事によるとガロア群は三次の巡回群とのことである。これを確かめよう。
1.まずはこの多項式を定義する
コマンド
gp > f(x)=x^3+x^2-2*x-1
2.次に先ほどの「polgalois」を使ってみよう
コマンド
gp > polgalois(f(x))
すると
%2 = [3, 1, 1, "A3"]
と出力されるはずである。念のため計算画面を見せておくと以下のようになる*1
さてこれが何を意味しているかが問題である。polgaloisコマンドで出力される型は
というものになる。
ガロア群の位数は大丈夫だろう。今回なら位数は3である（この時点で三次巡回群であることは群論の知識から確定はする）。
符号、番号は気にしなくてよいだろう。CHMラベルというもの*2だがこれも気にせず以下の対応表を見ればよい（画像はhttp://math.mit.edu/~brubaker/PARI/PARIusers.pdfのp.125より）
（ガロア群）＝[ガロア群の位数、符号、番号]という形で書かれておりこれにより、今回の場合はとあるので、ガロア群は
、すなわち三次交代群（＝三次巡回群）であることがわかる。
例2（見慣れない群が出てきたときには）
もう一つ例を計算してみよう今度はよく可解な五次方程式の例として出てくるを扱う
gp > polgalois(x^5+15*x+12)
と打つと以下のように出てくる
[20, -1, 1, "F(5) = 5:4"]
これは先ほどの表で見るとと書いてある。位数20の群であることはわかるが
という記号は見覚えがない。これはなんであろうか？
これは実はフロベニウス群と呼ばれるもので、
peng225.hatenablog.com
でとして紹介されている（この一連の記事はとても面白いものなので余裕がある読者は是非一読されたい*3）。
このように（恐らく多くの読者にとって）なじみの薄い群が出てくるものもある。こういうときはどうすればいいか、という話なのだが実は
ということが知られている。これについてはそこの記事に書いてあるのでそこを参照されたい。ここでの可移部分群は既に研究されていて例えば以下のようなサイトに多項式でいえば31次多項式までに相当する可移部分群のリストがまとめられている*4
https://people.maths.bris.ac.uk/~matyd/GroupNames/T31.html
次既約多項式のガロア群を探しているなら「On n points」というところを見ればよい。「ID」のところの最初の数字が群の位数である*5。PARI/GPで出てくる既約多項式のガロア群は必ずこれの中のどれかになるはずであるからもしわからない群が出てきたらこのようなサイトをもとにいろいろと調べることが出来る。
